Sadržaj

• koraci
• Savjet

Matematičari i grafički programeri često trebaju pronaći kut između dva vektora. Srećom, formula koja se koristi za izračunavanje ovog kuta ne zahtijeva ništa više od jednostavnog skalarnog proizvoda. Iako je obrazloženje ove formule lakše razumjeti kada se koriste dvodimenzionalni vektori, možemo ga lako prilagoditi vektorima s bilo kojim brojem komponenti.

koraci

Dio 1 od 2: Izračunajte kut između dva vektora

1. 

   Prepoznajte dva vektora. Zapišite sve poznate podatke o dva vektora. U svrhu ovog vodiča, pretpostavit ćemo da vektore poznajete samo u smislu njihovih dimenzionalnih koordinata (tzv. komponente). Ako već znate modul ili standard od ovih vektora (to jest, njihove duljine), možete preskočiti neke od koraka u nastavku.
   • Primjer: razmotrit ćemo dvodimenzionalne vektore = (2,2) i = (0,3). Ova dva vektora mogu se prepisati kao = 2ja + 2j e = 0ja + 3j = 3j.
   • Iako se u našem primjeru koriste dvodimenzionalni vektori, naredne upute možemo primijeniti na vektore s bilo kojim brojem komponenti.

2. 

   
   
   Napišite formulu kosinusa. Da bismo pronašli vrijednost kuta θ između bilo koja dva vektora, prvo moramo izračunati kosinus tog kuta. Možete detaljno pretraživati ​​i saznati formulu ili je jednostavno napisati u nastavku:
   • cosθ = (•) / (|||| ||||)
   • |||| predstavlja modul (ili dužina) vektora ".
   • • predstavlja skalarni proizvod (ili unutarnji proizvod) dva vektora.

3. 

   
   
   Izračunajte modul svakog vektora. Zamislite pravi trokut oblikovan od komponente x vektora, njegova komponenta y i sam vektor. U tom trokutu vektor igra ulogu hipotenuze; stoga ćemo pronaći njegovu duljinu primijeniti pitagorejski teorem. Zbog toga je ova formula lako primjenjiva na vektore s bilo kojim brojem komponenti.
   • || u || = u₁ + u₂, Ako vektor ima više od dvije komponente, jednostavno nastavite dodavanjem + u₃ + u₄ +...
   • Stoga ćemo za dvodimenzionalni vektor morati || u || = √ (u₁ + u₂).
   • U našem primjeru, |||| = √ (2 + 2) = √ (8) = 2√2. |||| = √(0 + 3) = √(9) = 3.

4. 

   
   
   Izračunajte skalarni produkt između dva vektora. Već bi trebala znati metodu množenja vektora, koja se također naziva skalarni proizvod, Da bismo izračunali skalarni produkt dva vektora s obzirom na njihove komponente, množimo komponente u istom smjeru, a zatim dodamo rezultate tih proizvoda.
   • Ako radite s računalnim grafičkim programima, prvo posjetite odjeljak "Savjeti" prije nego što nastavite.
   • Matematički gledano, • = u₁v₁ + u₂v₂, gdje je u = (u₁, u₂). Ako vaš vektor ima više od dvije komponente, jednostavno nastavite dodavanjem + u₃v₃ + u₄v₄...
   • U našem primjeru, • = u₁v₁ + u₂v₂ = (2)(0) + (2)(3) = 0 + 6 = 6, Ovo je vrijednost skalarnog produkta između vektora i.

5. 

   Zamijenite ove rezultate u formuli kosinusa. Zapamtite, cosθ = (•) / (|||| || ||). Već smo izračunali skalarni proizvod i modul dvaju vektora. Sada zamijenimo ove vrijednosti u formuli i izračunajmo kosinus kutova.
   • U našem primjeru cosθ = 6 / (2√2 * 3) = 1 / √2 = √2 / 2.

6. 

   Pronađite kut na temelju vašeg kosinusa.
   Pomoću funkcije luka ili cos računara za određivanje kuta θ iz vrijednosti kosinusa. U nekim ćete slučajevima moći pronaći vrijednost kuta na temelju jedinice kruga.
   • U našem primjeru cosθ = √2 / 2. Upišite "arccos (√2 ​​/ 2)" u kalkulator kako biste pronašli kut. Druga je mogućnost tražiti kut θ jedinične kružnice gdje je cosθ = √2 / 2: to će biti točno za θ = /₄ ili 45 °.
   • Spajajući sve podatke, imat ćemo konačnu formulu θ = arccosine ((•) / (|||| || ||))

Dio 2 od 2: Definiranje formule za izračun kuta

1. 

   Shvatite svrhu formule. Formula koju smo koristili za izračunavanje kuta između dva vektora nije izvedena iz već postojećih pravila; umjesto toga, stvoren je kao definicija skalarnog proizvoda između dva vektora i kuta između njih. Međutim, ta odluka nije proizvoljna. Ako pobliže pogledamo osnovnu geometriju, možemo vidjeti zašto ova formula rezultira tako korisnim i intuitivnim definicijama.
   • Sljedeći primjeri koriste dvodimenzionalne vektore jer su najintuitivniji tip za rad. Vektori s tri ili više dimenzija imaju svoja svojstva definirana iz opće formule (također na vrlo sličan način).

2. 

   Pregledajte zakon kosinusa. U bilo kojem trokutu razmislite o kutu θ koji su formirane strane i B i sa strane ç nasuprot tom kutu. Prema kosinuskom zakonu, c = a + b -2abpojas(Θ). Demonstracija ove formule lako se može dobiti iz poznavanja osnovne geometrije.

3. 

   Spojite dva vektora i oblikujte trokut. Nacrtajte par vektora i, pod kutom θ između njih. Zatim nacrtajte treći vektor između njih kako biste tvorili trokut. Drugim riječima, nacrtajte vektor takav da je + =, ili jednostavno = -.

4. 

   Primijenite zakon kosinusa na ovaj trokut. Zamijenite duljinu naših strana vektorski trokut (to jest, vektorski modul) u formuli za zakon kosinusa:
   • || (a - b) || = || a || + || b || - 2 || a || || b ||pojas(θ)

5. 

   Prepišite formulu pomoću skalarnih proizvoda. Zapamtite da je točki proizvod uvećanje jednog vektora projiciranog na drugog. Sam skalarni produkt vektora ne zahtijeva projekciju, jer nema promjene smjera. To znači da je • = || a ||. Na temelju tih podataka, napišemo jednadžbu zakona kosinusa:
   • (-) • (-) = • + • - 2 || a || || b ||pojas(θ)

6. 

   Pojednostavite formulu. Proširite proizvode na lijevoj strani jednadžbe, a zatim ih pojednostavite dok ne dođete do formule koju poznajemo za proračun kutova.
   • • - • - • + • = • + • - 2 || a || || b ||pojas(θ)
   • - • - • = -2 || a || || b ||pojas(θ)
   • -2 (•) = -2 || a || || b ||pojas(θ)
   • • = || a || || b ||pojas(θ)

Savjet

• Za brzo razlučivanje primijenite sljedeću formulu na bilo koji dvodimenzionalni vektorski par: cosθ = (u₁ • v₁ + u₂ • v₂) / (√ (u₁ • u₂) • √ (v₁ • v₂)).
• Ako radite s računalnim grafičkim programima, najvjerojatnije ćete morati znati samo smjer vektora, a ne njihovu duljinu. Slijedite korake u nastavku kako biste pojednostavili jednadžbe i ubrzali svoj program:
  • Normalizirajte svaki vektor, tj. Pronađite jedinični vektor koji ima isti smjer kao izvorni vektor. Da biste to učinili, podijelite svaku komponentu vektora pomoću vektorskog modula.
  • Izračunajte skalarni produkt normaliziranih vektora, a ne originalnih vektora.
  • Budući da je modul (tj. Duljina) normaliziranih vektora jedinstven, možemo ih izostaviti iz formule. Vaša konačna jednadžba za izračun kutova bit će lukovi (•).
• Na temelju formule zakona kosinusa možemo brzo saznati je li dotični kut akutan ili nejasan. Počnite s cosθ = (•) / (|||| ||||):
  • Lijeva i desna strana jednadžbe moraju imati isti znak (pozitivan ili negativan).
  • Kako su duljine uvijek pozitivne, cosθ će uvijek imati isti znak kao skalarni proizvod.
  • Stoga, ako je skalarni proizvod pozitivan, cosθ će biti pozitivan. To znači da je kut u prvom kvadrantu jediničnog kruga, to jest θ <π / 2 ili 90 °. Stoga je kut akutan.
  • Ako je skalarni proizvod negativan, cosθ je negativan. To znači da je kut u drugom kvadrantu jediničnog kruga, to je π / 2 <θ ≤ π ili 90 ° <θ ≤ 180 °. Stoga je kut zatupljen.