Sadržaj

• Koraci
• Savjeti

Racionalni izraz sastoji se od razlomka koji sadrži jednu ili više varijabli u brojniku ili nazivniku. Jedan jednadžba racionalna je svaka jednadžba koja uključuje barem jedan racionalni izraz. Kao i u normalnim algebarskim jednadžbama, racionalne se jednadžbe rješavaju izvođenjem istih operacija na obje strane, sve dok varijabla nije izolirana na jednoj strani predznaka jednakosti. Dvije su tehnike, posebno umnožavanje i najmanje zajednički djelitelj, izuzetno korisne za izoliranje varijabli i rješavanje racionalnih jednadžbi.

Koraci

Metoda 1 od 2: Unakrsno množenje

1. 

   Ako je potrebno, preuredite jednadžbu tako da na svakoj strani znaka jednakosti bude razlomak. Unakrsno množenje brza je i jednostavna metoda rješavanja racionalnih jednadžbi. Nažalost, ova metoda djeluje samo na racionalnim jednadžbama koje sadrže točno jedan racionalni izraz ili razlomak sa svake strane znaka jednakosti. Ako jednadžba nije u formatu prikladnom za križno množenje, možda će biti potrebno izvršiti neke algebarske operacije za premještanje pojmova na odgovarajuća mjesta.
   • Na primjer, jednadžbu (x + 3) / 4 - x / (- 2) = 0 lako je preurediti u format križnog množenja, dodajući x / (- 2) na obje strane jednadžbe, što će rezultirati s ( x + 3) / 4 = x / (- 2).
     • Imajte na umu da se decimale i cijeli brojevi mogu staviti kao razlomi davanjem im nazivnika 1. (x + 3) / 4 - 2.5 = 5, na primjer, može se zapisati kao (x + 3) / 4 = 7,5 / 1, što ga čini valjanim za križno množenje.
   • Neke se racionalne jednadžbe ne mogu lako svesti na format sa samo razlomkom ili racionalnim izrazom sa svake strane znaka jednakosti. U takvim slučajevima upotrijebite najčešći pristup djelitelja.

2. 

   
   
   Križno množenje. Ova metoda podrazumijeva samo umnožavanje brojnika razlomka s nazivnikom drugog i obrnuto. Pomnožite brojilac razlomka lijevo od znaka jednakosti s nazivnikom razlomka zdesna. Ponovite postupak s brojiteljem razlomaka s desne strane i nazivnikom razlomka s lijeve strane.
   • Unakrsno množenje djeluje prema osnovnim principima algebre. Racionalni izrazi i drugi razlomci mogu se pretvoriti u nerazlomke množenjem njihovih nazivnika. Unakrsno množenje u osnovi je prečac za množenje obje strane jednadžbe njihovim odgovarajućim nazivnicima. Teško za povjerovati? Položite test - iste ćete rezultate dobiti nakon pojednostavljenja.

3. 

   
   
   Uskladite dva proizvoda. Nakon unakrsnog množenja imat ćete dva dobivena proizvoda. Izjednačite obje i pojednostavite izraz da bi svaka strana jednadžbe bila jednostavnija.
   • Na primjer, ako je izvorni racionalni izraz bio (x + 3) / 4 = x / (- 2), nakon unakrsnog množenja nova će jednadžba biti jednaka -2 (x + 3) = 4x. Po želji se može zapisati i kao -2x - 6 = 4x.

4. 

   
   
   Riješi za varijablu. Upotrijebite algebarske operacije da biste riješili problem za varijablu u jednadžbi. Imajte na umu da ako se x pojavi na obje strane znaka jednakosti, morat ćete dodati ili oduzeti x pojmova na obje da biste dobili x pojmove na samo jednom od njih.
   • U našem primjeru možemo obje strane jednadžbe podijeliti sa (-2), što rezultira x + 3 = -2x. Oduzimanjem x s obje strane dobit ćemo 3 = -3x. Konačno, dijeleći obje strane s -3, imat ćemo -1 = x, koje možemo prepisati kao x = -1. Vrijednost x nalazimo rješavajući našu racionalnu jednadžbu.

Metoda 2 od 2: Pronalaženje najmanjeg zajedničkog djelitelja (LCD)

1. 

   Znajte kada je prikladno koristiti najmanje zajednički djelitelj. Najmanji zajednički djelitelj (LCD) može se koristiti za pojednostavljivanje racionalne jednadžbe, što omogućava rješavanje postojećih varijabli. Pronalaženje LCD-a dobra je ideja kada se racionalnu jednadžbu ne može lako napisati jednim (i samo jednim) razlomkom ili racionalnim izrazom sa svake strane znaka jednakosti. Za rješavanje racionalnih jednadžbi s dva ili više članaka, LCD može biti vrlo koristan alat. Međutim, za rješavanje racionalnih jednadžbi sa samo dva člana, križno množenje može biti brže.

2. 

   Ispitajte nazivnik svakog razlomka. Odredite najmanji broj kojim se može podijeliti svaki nazivnik. To će biti LCD jednadžbe.
   • Ponekad je sasvim očiti najmanji zajednički nazivnik - odnosno najmanji broj koji svaki od postojećih nazivnika ima kao faktor. Na primjer, ako je izraz x / 3 + 1/2 = (3x + 1) / 6, ne treba puno shvatiti da je najmanji broj koji sadrži faktor 3, 2 i 6 zapravo 6.
   • Ipak, često LCD racionalne jednadžbe nije odmah očit. U takvim slučajevima pokušajte ispitati višekratnike najvišeg nazivnika dok ne pronađete onaj koji sadrži sve najmanje nazivnike kao faktor. U mnogim je slučajevima LCD višestruki od dva nazivnika. Na primjer, u jednadžbi x / 8 + 2/6 = (x-3) / 9, GCD je jednak 8 × 9 = 72.
   • Ako jedan ili više nazivnika razlomaka sadrži varijablu, postupak postaje složeniji, ali ne i nemoguć. U takvim će slučajevima LCD biti izraz (koji sadrži varijable) pomoću kojeg se mogu podijeliti svi nazivnici, umjesto jednog broja. Na primjer, u jednadžbi 5 / (x-1) = 1 / x + 2 / (3x), LCD je jednak 3x (x-1), jer je svaki nazivnik jednako podijeljen tim izrazom - podijelite ga s (x -1) rezultira 3x, dijeljenjem s 3x rezultatima (x-1) i dijeljenjem x rezultatima 3 (x-1).

3. 

   Pomnožite svaki razlomak u racionalnoj jednadžbi s jedan. Množenje svakog pojma s 1 može se činiti beskorisnim. Međutim, postoji trik. Broj 1 može se definirati kao bilo koji broj podijeljen sam od sebe - 2/2 i 3/3, na primjer, također su valjani načini pisanja "1". Ova metoda koristi prednost ove alternativne definicije. Pomnožite svaki razlomak u racionalnoj jednadžbi s 1, ispisujući broj 1 tako da množivi broj ili pojam s nazivnikom rezultira LCD-om na sebi.
   • U našem osnovnom primjeru množimo x / 3 sa 2/2 da bismo dobili 2x / 6 i pomnožimo 1/2 s 3/3 da bismo dobili 3/6. 3x + 1/6 već ima nazivnik 6, odnosno LCD kao nazivnik. Dakle, možemo ga pomnožiti s 1/1 ili ostaviti kakav jest.
   • U našem primjeru s varijablama u nazivnicima naših razlomaka, postupak je malo složeniji. Budući da je GCD jednak 3x (x-1), pomnožit ćemo svaki racionalni izraz s pojmom kojim se množi, što rezultira 3x (x-1) nad sobom. Dakle, pomnožit ćemo 5 / (x-1) sa (3x) / (3x) da bismo dobili 5 (3x) / (3x) (x-1), pomnožit ćemo 1 / x s 3 (x-1) / 3 (x -1) da se dobije (3 (x-1) / 3x (x-1) i pomnoži 2 / (3x) sa (x-1) / (x-1) da se dobije 2 (x-1) / 3x (x -1).

4. 

   Pojednostavite i riješite x. Sad kad svi pojmovi u racionalnoj jednadžbi imaju isti nazivnik, iz jednadžbe možete eliminirati nazivnike i riješiti brojnike. Jednostavno pomnožite obje strane jednadžbe da biste dobili izolirane brojnike. Dalje, upotrijebite algebarske operacije za dobivanje x (ili bilo koje druge varijable za koju želite riješiti) izolirano na jednoj strani predznaka jednakosti.
   • U našem osnovnom primjeru, nakon množenja svakog pojma izmjeničnim oblicima 1, dobit ćemo 2x / 6 + 3/6 = (3x + 1) / 6. Dva se razlomka mogu zbrajati ako imaju isti nazivnik, tako da možemo pojednostaviti ovu jednadžbu kao (2x + 3) / 6 = (3x + 1) / 6, bez promjene vrijednosti. Pomnožite obje strane sa 6 kako bismo poništili nazivnike, što će nam ostaviti 2x + 3 = 3x + 1. Oduzmite 1 s obje strane da biste dobili 2x + 2 = 3x i oduzmite 2x s obje strane da biste dobili 2 = x, što se može zapisati kao x = 2.
   • U našem primjeru s varijablama u nazivnicima, naša jednadžba nakon množenja svakog pojma s "1" jednaka je 5 (3x) / (3x) (x-1) = 3 (x-1) / 3x (x-1) + 2 (x-1) / 3x (x-1). Množenjem svakog pojma s MDC-om omogućuje se poništavanje nazivnika, što rezultira 5 (3x) = 3 (x-1) + 2 (x-1). Ovo također radi na 15x = 3x - 3 + 2x - 2, što se može pojednostaviti na 15x = x - 5. Oduzimanje x s obje strane rezultira 14x = -5, što će u konačnici biti pojednostavljeno na x = -5 / 14.

Savjeti

• Nakon što riješite dotičnu varijablu, provjerite odgovor unosom vrijednosti u izvornu jednadžbu. Ako ste dobili točan rezultat, bit će moguće pojednostaviti izvornu jednadžbu na jednostavan i valjan iskaz, kao što je 1 = 1.
• Imajte na umu da bilo koji polinom možete napisati kao racionalan izraz; samo ga stavite preko nazivnika "1". Na taj će način x + 3 i (x + 3) / 1 imati istu vrijednost, ali drugi se smatra racionalnim izrazom, jer je zapisan kao razlomak.