Sadržaj

• koraci
• Savjet

Za one koji imaju poteškoće s matematikom, viđenje simbola kvadratnog korijena može uzrokovati zimicu. Međutim, problemi s ovim operatorom nisu tako teški kao što se pojavljuju. Ponekad jednostavni problemi s korijenskim korijenom mogu biti jednostavni kao i množenje ili dijeljenje. S druge strane, složeniji problemi mogu biti više posla. Ipak, s pravim pristupom, svi će izgledati lako. Počnite vježbati probleme s korijenskim korijenom već sada i naučite ovu novu matematičku vještinu radikal!

koraci

Dio 1 od 3: Razumjeti pojam kvadratnih i kvadratnih korijena

1. 

   Prije nego što shvatite kvadratne korijene, prvo shvatite što je kvadrat broja. Lako je razumjeti. Da biste brojali kvadrat, jednostavno ga množite sami. Na primjer, 3 kvadrata isto su kao 3 × 3 = 9, a 9 kvadrata je isto kao 9 × 9 = 81. Kvadrati su označeni s malim "2" na gornjoj desnoj strani broja koji treba podići, ovako: 3, 9, 100 i tako dalje.
   • Da biste primijenili koncept, pokušajte savladati još nekoliko brojeva. Zapamtite, odmjeravanje broja jednostavno ga množi sam od sebe. To možete učiniti čak i s negativnim brojevima, ali zapamtite da će u tom slučaju odgovor uvijek biti pozitivan. Na primjer, -8 = -8 × -8 = 64.

2. 

   
   
   Da biste pronašli kvadratni korijen, pronađite "obrnutu" potenciju. Simbol korijena (√, koji se naziva i „radikalan“) u osnovi znači „suprotnost“ simbola. Kad vidite radikal, zapitajte se: "Koji broj mogu množiti sam po sebi, tako da je rezultat broj unutar radikala?" Na primjer, kad vidite √ (9), pokušajte pronaći broj koji je kvadrat, jednak 9. U ovom slučaju odgovor će biti trijer je 3 = 9.
   • Još jedan primjer: pronađite kvadratni korijen od 25 (√ (25)). To znači da moramo pronaći broj koji je u kvadratu jednak 25. Budući da je 5 = 5 × 5 = 25, možemo reći da je √ (25) = 5.
   • O ovoj operaciji možete razmišljati i kao o načinu "poništavanja" kvadratne nadmorske visine. Na primjer, ako trebamo pronaći √ (64), kvadratni korijen 64, 64 bismo trebali pomisliti kao 8. Budući da četvrtasti korijen u osnovi "poništava" kvadrat elevacije, možemo reći da je √ (64) = √ (8) = 8.

3. 

   
   
   Shvatite razliku između savršenih kvadratnih brojeva i nesavršenih kvadratnih brojeva. Do sada su odgovori na naše probleme s kvadratnim korijenom bili čitavi brojevi. Neće se uvijek dogoditi. U stvari, rezultat operacije zračenja ponekad može rezultirati dugim, kompliciranim decimalama. Ako je korijen broja cijeli broj, to jest, ako nije ulomak ili decimalni broj, on će se pozvati savršen kvadrat, Svi gore prikazani primjeri (9, 25 i 64) savršeni su kvadrati jer su njihovi korijeni cijeli brojevi (3, 5 i 8).
   • S druge strane, nazivaju se brojevi čiji korijeni nisu cijeli nesavršeni kvadrati, Prilikom izračunavanja korijena jednog od tih brojeva, dobit ćemo rezultat koji će obično biti ulomak ili decimalni. Uključeni decimali mogu biti vrlo složeni kao u primjeru: √ (13) = 3,605551275464...

4. 

   
   
   Zapamtite barem prvih 12 savršenih kvadrata. Kao što smo pokazali, izračunavanje kvadratnog korijena broja može biti vrlo jednostavno! Stoga je važno izdvojiti vrijeme za pamćenje kvadratnih korijena prvih desetak savršenih kvadrata. Obično se pojavljuju na testovima, pa ih pamćenje može uštedjeti puno vremena. Prvih 12 savršenih kvadrata su:
   • 1 = 1 × 1 = 1
   • 2 = 2 × 2 = 4
   • 3 = 3 × 3 = 9
   • 4 = 4 × 4 = 16
   • 5 = 5 × 5 = 25
   • 6 = 6 × 6 = 36
   • 7 = 7 × 7 = 49
   • 8 = 8 × 8 = 64
   • 9 = 9 × 9 = 81
   • 10 = 10 × 10 = 100
   • 11 = 11 × 11 = 121
   • 12 = 12 × 12 = 144

5. 

   Po mogućnosti pojednostavite korijenje uklanjanjem savršenih kvadrata. Pronalaženje korijena nesavršenih kvadrata može biti vrlo komplicirano, pogotovo ako ne postoji kalkulator (u odjeljcima u nastavku naučit ćete trikove kako pojednostaviti postupak). Međutim, ponekad je moguće pojednostaviti brojeve unutar korijena radi lakšeg izračunavanja. Samo podijelite broj unutar korijena na faktore, zatim izračunajte korijen faktora koji su savršeni kvadrati i napišite odgovor izvan radikala. Ovo je lakše nego što izgleda. Pogledajte dolje da biste bolje razumjeli!
   • Recimo da trebate pronaći korijen 900. U početku se čini da je to prilično težak zadatak! Sve je puno lakše ako 900 dijelimo na faktore. Faktori broja "x" su skup brojeva koji, ako se množe, rezultiraju s "x". Na primjer, možemo dobiti 6 množenjem 1 × 6 i 2 × 3, tako da su faktori 6 1, 2, 3 i 6.
   • Umjesto da radimo sa 900, što može biti pomalo čudno, napišimo to kao 9 × 100. Sada, kako je 9, što je savršen kvadrat, odvojen od 100, možemo izračunati njegov kvadratni korijen. √ (9 × 100) = √ (9) × √ (100) = 3 × √ (100). To jest, √ (900) = 3√(100).
   • Još uvijek možemo pojednostaviti još dva puta, podijelivši 100 na faktore 25 i 4. √ (100) = √ (25 × 4) = √ (25) × √ (4) = 5 × 2 = 10. Dakle, možemo reći da je √ (900) = 3 (10) = 30.

6. 

   Upotrijebite imaginarne brojeve za izračun korijena negativnih brojeva. Zapitajte se, koji broj pomnožen sa sobom rezultira u -16? To nije 4 ili -4, jer kvadrat tih dvaju brojeva je 16. Treba li odustati? U stvari, ne postoji način da se upiše kvadratni korijen od -16 ili bilo kojeg drugog negativnog broja koristeći samo stvarne brojeve. U takvim slučajevima moramo koristiti imaginarne brojeve (obično u obliku slova ili simbola) da bismo zamijenili kvadratni korijen negativnog broja. Na primjer, varijabla "i" koristi se za označavanje kvadratnog korijena od -1. U pravilu, korijen negativnog broja uvijek će biti (ili barem uključiti) imaginarni broj.
   • Imajte na umu da, iako imaginarni brojevi ne mogu biti predstavljeni stvarnim brojevima, još uvijek se mogu na neki način tretirati kao takvi. Na primjer, korijen negativnog broja „-x“, ako je kvadrat, također rezultira „-x“, baš kao i bilo koji drugi korijen. Odnosno, i = -1

Dio 2 od 3: Korištenje metoda sličnih dugih odjela

1. 

   Tretirajte problem s korijenskim kvadratom kao da je to dugačak odjeljak. Iako ste pomalo naporni, kvadratni korijen složenih nesavršenih kvadratnih brojeva možete pronaći bez upotrebe kalkulatora. Metoda (ili algoritam) slična je (ali nije ista) kao i kod duge podjele. Duga je podjela ona tradicionalna metoda koja se koristi za ručno izračunavanje podjela.
   • Započnite s početnim postavljanjem problema, koje će biti slično onome s dugim dijeljenjem. Na primjer, recimo da trebate pronaći korijen 6,45, što definitivno nije savršen kvadrat. Prvo pišemo kvadratni korijenski simbol (√), a zatim unutar njega unosimo svoj broj. Zatim moramo napraviti simbol od simbola √ dok ne obuhvati cijeli broj, ostavljajući ga unutar okvira sličnog onom u kojem se nalazi razdjelnik duge podjele. Razlika je u tome što će ovdje odgovor biti iznad tog okvira, a ne ispod, kao u tradicionalnoj podjeli. Kad završimo, imat ćemo izduženi znak "√", koji će pokrivati ​​cijeli broj 6,45.
   • Na ovu kutiju napišemo brojeve, pa ostavite prostora.

2. 

   Grupirajte znamenke u parove. Za početak rješavanja problema, grupirajte znamenke broja unutar stabljike u parove, počevši od decimalne točke. Možete napraviti male oznake (poput razdoblja, trake, zareza, itd.) Između parova kako biste ih razdvojili.
   • U našem primjeru trebali bismo podijeliti 6,45 na tri para, ovako: 6-,45-00, Vidite da postoji jedna manje znamenka na lijevoj strani, nema problema s tim.

3. 

   Pronađite najveći broj čiji je kvadrat manji ili jednak vrijednosti prve "grupe". Započnite s prvim parom brojeva na lijevoj strani. Odaberite najveći broj čiji je kvadrat manji ili jednak "grupi". Na primjer, ako je grupa bila 37, odaberite 6, jer je 6 = 36 <37, ali 7 = 49> 37. Napišite ovaj broj iznad prve grupe. Ovo je prva znamenka odgovora.
   • U našem primjeru, prva skupina u 6-, 45-00 je 6. Prvi najveći broj čiji je kvadrat manji ili jednak 6 je 2, jer je 2 = 4. Napiši "2" preko 6 koji se nalazi unutar radikala.

4. 

   Pogledajte prvu znamenku odgovora (broj koji smo upravo pronašli) i pomnožite ga s dva. Sada napišite rezultat ispod prve grupe i iznesite oduzimanje kako biste pronašli razliku. Zatim se pomaknite prema dolje sljedeći par brojeva dodajući ih razlici koju smo upravo pronašli. Na kraju napišite zadnju znamenku, udvostručite prvu znamenku odgovora na lijevoj strani i ostavite razmak pored nje.
   • U našem primjeru prvi korak bi bio pronaći dvojnik od 2, što je prva znamenka odgovora. 2 × 2 = 4. Zatim moramo oduzeti 4 od 6 (naša prva "grupa"), dobivajući 2 kao odgovor. Sada se moramo spustiti do sljedeće skupine (45) da bismo dobili 245. Konačno, ponovo pišemo 4 s lijeve strane, ostavljajući mali prazan prostor s desne strane, ovako: 4_.

5. 

   Ispunite prazno. Sada trebamo staviti znamenku umjesto praznog prostora uz broj koji pišemo na lijevoj strani. Odaberite znamenku koja, pomnožena s brojem na lijevoj strani s praznim prostorom zamijenjenim sobom, ima maksimalnu vrijednost, ali manju od broja na desnoj strani. To se može činiti malo kompliciranim, pa ćemo vidjeti nekoliko primjera za razumijevanje. Ako je broj koji je pao, tj. Onaj s desne strane, 1700, a broj s desne strane 40_, u prazninu bismo popunili brojem 4, jer je 404 × 4 = 1616 <1700 i 405 × 5 = 2025 Broj pronađen u ovom koraku bit će druga znamenka odgovora, tako da ga možete dodati iznad simbola matičnog broja.
   • U našem primjeru trebamo pronaći broj koji treba popuniti prazan prostor u 4_ × _ koji čini odgovor što većim, ali manjim ili jednakim 245. U našem slučaju, odgovor je 5jer je 45 × 5 = 225 i 46 × 6 = 276.

6. 

   Nastavite koristiti brojeve koji popunjavaju praznine kako biste sastavili odgovor. Nastavite s ovom modificiranom metodom duge podjele dok ne počnete dobivati ​​nule oduzimajući broj koji se spušta od radikala ili dok ne postignete željenu razinu preciznosti. Kada završite, brojevi koji se koriste za popunjavanje praznina na svakom koraku (i, naravno, prvi broj koji koristimo) činit će znamenke odgovora.
   • Nastavljajući naš primjer, oduzeli bismo 225 od 245 da biste dobili 20. Zatim bismo spustili par znamenki 00 da bismo dobili 2000. Uvostručenjem brojeva iznad radikala imamo 25 × 2 = 50. Postavljanjem praznog broja na 50_ × _ = / <2.000, dobivamo 3, U ovom trenutku imamo "253" o radikalu. Ponavljajući postupak ponovo, dobivamo 9 kao sljedeću znamenku.

7. 

   Zarez postavite na tačan položaj u odgovoru. Za završetak odgovora, još uvijek trebamo postaviti decimalnu točku na pravo mjesto. Ovaj je dio jednostavan: samo stavite zarez u odgovoru na isti položaj kao i zarez u broju unutar radikala. Na primjer, ako je broj unutar radikala 49,8, samo zarez stavite u odgovoru na mjesto koje odgovara onome ispod, to jest između dva broja iznad 9 i 8.
   • U našem primjeru broj unutar radikala je 6,45. Da biste dobili odgovor, samo postavite zarez između brojeva iznad 6 i 4, koji su u ovom slučaju 2 i 5, da biste dobili odgovor: 2,539.

Dio 3 od 3: Izrada brze procjene nesavršenih kvadrata

1. 

   Pronađite odgovor putem procjene. Jednom kada saznate korijen nekih savršenih kvadrata, pronalazak korijena nesavršenih kvadrata bit će mnogo lakši. U prethodnom koraku preporučujemo napamet barem prvih dvanaest savršenih kvadrata i njihovih korijena. Dobra vijest je da pomoću procjene možemo dobiti aproksimaciju korijena nesavršenog kvadrata koji se nalazi između dvaju savršenih kvadrata. Za to trebamo pronaći prvi savršeni kvadrat veći od željenog broja i posljednji manji, tako da je dotični broj između dva. Tada trebamo pokušati otkriti kojem od ta dva savršena kvadrata najbliži je korijen željenog broja.
   • Na primjer, pretpostavimo da trebamo pronaći kvadratni korijen od 40. Budući da pamtimo svoje savršene kvadrate, možemo reći da je 40 između 6 i 7, odnosno između 36 i 49. Budući da je 40 veće od 6, vaš će kvadratni korijen biti veći od 6. Isto tako, budući da je manji od 7, njegov korijen će biti manji od 7. 40 je malo bliži 36 nego 49, pa će naš odgovor vjerojatno biti bliži 6. U sljedećim koracima , povećat ćemo točnost naše procjene.

2. 

   Povećajte preciznost na jedno decimalno mjesto. Nakon što ste pronašli dva uzastopna savršena kvadrata koja tvore raspon koji sadrži vaš broj, samo pokušajte povećati točnost procjene do točke za koju smatrate da je zadovoljavajuća. Što se više pokušaja poboljšati, veća je točnost. Za početak procijenite vrijednost prvog decimalnog mjesta. Ova procjena ne mora biti točna, ali upotreba logike za odabir vrijednosti koja je vjerojatno najbliža odgovoru olakšat će postupak.
   • U našem primjeru prihvatljiva procjena za kvadratni korijen od 40 može biti 6,4, jer već znamo da je odgovor vjerojatno malo bliži 6 nego 7.

3. 

   Pomnožite procjenu sa sobom. Ako nemate puno sreće, rezultat neće biti startni broj (40, u našem primjeru). Morat ćete prilagoditi procjenu kako biste se približili točnom odgovoru.Ako je rezultat iznad početnog broja (to jest iznad 40), pokušajte s nižom procjenom. Isto tako, ako je rezultat ispod željenog broja, povećajte procjenu.
   • Pomnožite 6,4 sa sobom kako biste dobili 6,4 × 6,4 = 40,96, što je malo više od našeg početnog broja.
   • Kako je naša procjena bila malo iznad ispravne vrijednosti, smanjimo je za desetinu da bismo dobili 6,3 × 6,3 = 39,69, Sada je rezultat bio nešto manji od našeg izvornog broja. To znači da je korijen 40 neki broj između 6,3 i 6,4, Nadalje, kako je 39,69 bliži 40 nego 40,96, znamo da će korijen biti bliži 6,3, a ne 6,4.

4. 

   Nastavite poboljšavati procjenu ako je potrebno. U ovom trenutku, ako ste zadovoljni odgovorom, koristite jednu od prvih aproksimacija kao procjenu. Ako vam treba točniji odgovor, samo pokušajte procijeniti drugo decimalno mjesto, odabir vrijednosti između prethodna dva (to je između 6,3 i 6,4). Ovom metodom možemo procijeniti tri decimalna mjesta, četiri, pet i slično, ovisno o preciznosti koja je potrebna za odgovor.
   • U našem primjeru možemo odabrati 6,33 da bismo procijenili na dva decimalna mjesta. Pomnožite 6.33 sa sobom da dobijete 6.33 × 6.33 = 40.0689. Kako je ovaj rezultat bio malo iznad našeg početnog broja, možemo odabrati nešto nižu vrijednost, poput 6,32. U ovom slučaju 6,32 × 6,32 = 39,9424, rezultat je malo ispod početnog broja. Stoga možemo zaključiti da je točan korijen 40 između 6,32 i 6,33, Ako je potrebno, mogli bismo nastaviti s ovom metodom za dobivanje sve točnijih aproksimacija korijena željenog broja.

Savjet

• Ako vam treba brzo rješenje, koristite kalkulator. Većina modernih kalkulatora može odmah izračunati kvadratne korijene. Općenito, upišite bilo koji broj i pritisnite gumb sa simbolom kvadratnog korijena. Na primjer, kako biste pronašli korijen 841, samo pritisnite 8, 4, 1, a zatim (√) da biste dobili odgovor: 39.