Sadržaj

• koraci
• Savjet

Pri pokušaju pronalaženja formule za matematički niz, jedan od najčešćih koraka koji treba poduzeti je pronaći trenutni pojam, i to ne u smislu, već u prethodno navedenim terminima. U jednom primjeru, iako je dobro imati zatvorenu funkciju za n-ti pojam Fibonacijeve sekvence, ponekad je sve što trebate učiniti odnos ponavljanja ili oni tvrde da se svaki izraz odnosi na zbroj dva prethodna izraza. Ovaj je članak pokazao nekoliko metoda za zaključivanje zatvorene formule iz recidiva.

koraci

Metoda 1 od 5: Aritmetika

1. 

   Uzmi aritmetički niz poput

2. 

   
   
   Budući da je svaki izraz tri jedinice veći od prethodnog, može se tretirati kao recidiv, kao što je prikazano.

3. 

   Prepoznajte da je bilo kakvo ponavljanje u formatu aritmetički niz.

4. 

   
   
   Napiši formula aritmetičke sekvence u svom zatvorenom formatu, uključujući nepoznanice kad je to potrebno.

5. 

   Riješite jednadžbu na temelju prisutnih nepoznanica, ovisno o formatu niza. U tom slučaju, budući da je to bio termin, formula će biti. Ako želite da to bude prvi termin, dobit ćete ga.

Metoda 2 od 5: Geometrijska

1. 

   
   
   Uzmimo za primjer geometrijski niz poput

2. 

   Budući da je svaki izraz dvostruko veći od prethodnog, može se tretirati kao ponavljanje, kao što je prikazano.

3. 

   Prepoznajte da je bilo kakvo ponavljanje formata geometrijski slijed.

4. 

   Napišite formulu geometrijskog niza u njegovom zatvorenom formatu, uključujući nepoznanice kada je to potrebno.

5. 

   Riješite jednadžbu na temelju prisutnih nepoznanica, ovisno o formatu niza. U tom slučaju, budući da je to bio termin, formula će biti. Ako želite da to bude prvi termin, dobit ćete ga.

Metoda 3 od 5: Polinom

1. 

   Uzmimo kao primjer redoslijed predstavljen iz recidiva.

2. 

   Svako ponavljanje u demonstriranom formatu, gdje predstavlja bilo koji polinom, imaće zatvoreni polinomski oblik stupnja jednom viši od onog koji je prisutan u.

3. 

   Napišite opći oblik polinoma do željenog stupnja. U primjeru je kvadratna, zahtijeva kubičnu vrijednost da predstavlja niz.

4. 

   Budući da opća kubična vrijednost ima četiri nepoznata koeficijenta, za rješavanje rezultirajućeg sustava potrebno je koristiti četiri izraza u nizu. Bilo koji izbor bit će valjan, pa ovdje ,,, i. Ponavljanje ponavljanja u suprotnom smjeru za izračunavanje pojma može olakšati neke proračune, ali nije nužan korak.

5. 

   Rješavanje problema sustav koji proizlazi iz jednadžbiu nepoznanicama ili izračunati Lagrangeov polinom u poznatim točkama.
   • Ako je izraz bio jedan od onih koji se koriste u proračunu koeficijenata, dobit ćete konstantu polinoma i odmah možete smanjiti sustav na nepoznate jednadžbe, kao što je prikazano.

6. 

   Predstavljajte zatvorenu formulu u obliku polinoma s poznatim koeficijentima.

Metoda 4 od 5: Linearna

1. 

   Ovo je prva metoda koja je sposobna riješiti Fibonaccijev slijed predstavljen u uvodu članka, ali moguće je riješiti bilo koji drugi u kojem se n-ti izraz sastoji od linearne kombinacije prethodnih izraza. Sada uzmite drugačiji primjer čiji su početni pojmovi

2. 

   Napišite polinom karakteristike recidiva. Može se pronaći zamjenom svakog prisutnog u njemu i dijeljenjem s njim, ostavljajući samo mononski stupanj stupnja i konstantu koja nije jednaka nuli.

3. 

   Riješite karakteristični polinom. U ovom slučaju, karakteristika ima stupanj, što omogućava korištenje kvadratne formule za određivanje njezinih korijena.

4. 

   Bilo koji izraz u prikazanom formatu zadovoljava ponavljanje. Predstavlja sve konstante, a baza eksponenata predstavlja korijene gore opisanih karakteristika. To se može potvrditi indukcijom.
   • Ako karakteristika ima više korijena, korak treba malo promijeniti. Ako je korijen mnogostrukosti, koristite umjesto samo. U jednom primjeru, niz zadovoljava odnos recidiva. Karakteristični polinom ima trostruki korijen jednak i bit će njegova zatvorena formula.

5. 

   Odredite što ispunjava prethodno navedene uvjete. Kao u primjeru polinoma, i za to je potrebno stvoriti linearni sustav jednadžbi iz početnih izraza. Budući da primjer ima dvije nepoznanice, bit će potrebna dva pojma - bilo koji izbor bit će valjan, pa uzmite kao primjer o i o i nema potrebe za podizanjem iracionalnog broja na moć.

6. 

   Riješite rezultirajući sustav jednadžbi.

7. 

   Kao rješenje stavite rezultirajuće konstante u opću formulu.

Metoda 5 od 5: Generiranje funkcija

1. 

   Uzmite za primjer slijed koji je demonstriran ponavljanjem. To se ne može riješiti gore navedenim metodama, ali moguće je odrediti formulu na temelju funkcija generiranja.

2. 

   Napišite funkciju generiranja niza. To je jednostavno niz formalnih moći u kojima je koeficijent n-ti pojam u nizu.

3. 

   Manipulirajte generirajuću funkciju kao što je prikazano. Svrha ovog koraka je pronaći jednadžbu koja vas uči kako izračunati vrijednost generirajuće funkcije. Prvo, izdvojite početni pojam i primijenite odnos ponavljanja na preostale pojmove. Zatim podijelite zbroj i izdvojite stalne izraze. Da biste to učinili, upotrijebite definiciju i formulu za zbroj geometrijskog niza.

4. 

   Odredite generirajuću funkciju.

5. 

   Odredite koeficijent sadašnjosti u. Metode za to razlikuju se ovisno o obliku, ali također će poslužiti i djelomične frakcije u kombinaciji sa znanjem o generirajućoj funkciji u odnosu na geometrijski niz.

6. 

   Napišite formulu za identificiranje em koeficijenta.

Savjet

• Indukcija je također vrlo popularna tehnika. Obično je lako dokazati na ovaj način da određena formula zadovoljava zadani recidiv, ali problem je što će se o tome morati nagađati unaprijed.
• Neke od ovih metoda zahtijevaju veliku računsku snagu i pružaju brojne mogućnosti za pogreške. Uvijek je dobro provjeriti formulu i analizirati poznate pojmove.
• ’U matematici Fibonaccijevi brojevi su prisutni u sljedećem slijedu: ’
  • Fibonaccijeva spirala: aproksimacija zlatne spirale stvorene dizajnom lukova koji povezuju suprotne uglove kvadrata prisutnih u Fibonaccijevom mozaiku - u ovom slučaju koriste se kvadrati veličine ,,,,,,.
  • Prema definiciji, prva dva broja u Fibonaccijevom nizu su e ili e, ovisno o odabranoj početnoj točki, a svaki naredni broj sastoji se od zbroja prethodnih dva.
  • Matematički gledano, redoslijed koji sadrži Fibonaccijeve brojeve definiran je omjerom recidiva
    
    Sljedeće vrijednosti su sljedeće:
    ili
• Kako se povećava, granica udjela poznata je kao Zlatni omjer, Zlatni omjer ili grčkim slovom (fi), tako da je ta promjena okarakterizirana kao.