Sadržaj

• Koraci
• Savjeti
• Upozorenja

Prije nego što je kalkulator stigao, i učenici i nastavnici morali su ručno izračunati kvadratne korijene. Nekoliko se metoda razvilo kako bi se bolje nosilo s tim zastrašujućim postupkom, neke donose približne vrijednosti, a druge točniju vrijednost. Da biste naučili kako ručno izračunati kvadratni korijen pomoću jednostavnih operacija, pročitajte Korak 1 početi.

Koraci

Metoda 1 od 2: Korištenje faktorizacije

1. 

   Podijelite broj sa savršenim kvadratnim faktorima. Ova metoda koristi faktore broja za izračunavanje kvadratnog korijena (ovisno o vrijednosti, to može biti točan ili procijenjen odgovor). Vas čimbenici broja su bilo koji skup drugih koji se množe da bi ga postigli. Možete recimo reći koji su faktori i zašto. Savršeni su kvadrati, s druge strane, cijeli brojevi koji su rezultat množenja između ostalih cijelih brojeva. Vrijednosti su, na primjer, savršeni kvadrati jer ih mogu predstavljati i, odnosno. Savršeni kvadratni čimbenici, kao što možete zamisliti, također su savršeni kvadrati. Da biste započeli s pronalaženjem kvadratnog korijena putem proste faktorizacije, smanjite vrijednosti na svoje savršene kvadratne čimbenike.
   • U jednom primjeru morat ćete izračunati kvadratni korijen ruke. Za početak samo podijelite vrijednost na svoje savršene kvadratne čimbenike. Budući da je višestruki od, još uvijek je poznato da je djeljiv sa - savršenim kvadratom. Brza mentalna podjela omogućit će vam da vidite da odgovara vremenu, što je slučajno i savršen kvadrat. Stoga će savršeni kvadratni čimbenici biti i zašto.
   • Prva faza vježbe bit će napisana kao:

2. 

   
   
   Izračunajte kvadratne korijene savršenih kvadratnih faktora. Svojstvo proizvoda kvadratnog korijena navodi da, za bilo koje vrijednosti i podatke ,. Zbog toga je sada moguće izvući kvadratne korijene čimbenika i pomnožiti ih kako bi se došlo do odgovora.
   • U predmetnom primjeru kvadratni korijeni i bit će izvučeni na sljedeći način:

3. 

   
   
   Smanjite rezultirajuću vrijednost na najjednostavnije izraze ako nije moguće to savršeno računati. U praksi brojevi vjerojatno neće biti savršeni i točni s čimbenicima koji su također savršeni kvadrati (poput). U takvim slučajevima možda neće biti moguće dobiti točan cjelovit odgovor. Umjesto toga, određivanjem čimbenika koji mogu biti savršeni kvadratići, odgovor možete izračunati na temelju manjeg, jednostavnijeg i jednostavnijeg kvadratnog korijena. Samo smanjite broj na kombinaciju čimbenika koji su savršeni kvadrati s drugima koji to nisu. Zatim pojednostavite rezultat.
   • Pretpostavimo da se kao primjer koristi kvadratni korijen od. Ovaj broj nije umnožak dva savršena kvadrata, pa nije moguće dobiti cjelobrojnu vrijednost kao u prethodnom slučaju. Međutim, to je proizvod između savršenog kvadrata i drugog broja - e. Ti će se podaci koristiti za najjednostavnije traženje odgovora, kako slijedi:

4. 

   
   
   Ako je potrebno, napravite procjene. S kvadratnim korijenom u najjednostavnijim uvjetima jednostavnije je procijeniti numerički odziv određivanjem vrijednosti preostalih kvadratnih korijena i množenjem odgovarajućih vrijednosti. Jedan od načina da se vodite kroz ove procjene je pronalaženje savršenih kvadrata pored broja u kvadratnom korijenu. Znat ćete da će se decimalna mjesta tog broja nalaziti između ove dvije vrijednosti i stoga će biti lakše odrediti što postoji između njih.
   • Vraćajući se primjeru i biti e, možete vidjeti da je između e - i vjerojatno bliži većem broju. Pri procjeni ćete to pronaći. Samo provjerite rad uz pomoć kalkulatora i primijetit ćete da ste se vrlo približili istinitom odgovoru ().
     • Ovo također radi u većem broju. Moguće je, na primjer, procijeniti da je između i (vjerojatno bliže većem broju). Ako je e i između obje vrijednosti, vjerojatno je da je i kvadratni korijen između i. Uzimajući u obzir da je to mali korak, možete sa sigurnošću tvrditi da je vaš kvadratni korijen uskoro ispod vrijednosti. Kada izvodite izračun na kalkulatoru, dolazi se do rezultata - pretpostavka je bila točna.

5. 

   Prvo smanjite broj na svoj zajednički višestruki minimumi. Nije potrebno pronaći čimbenike koji su savršeni kvadrati ako možete odrediti proste faktore broja (odnosno koji su ujedno i prosti brojevi). Dotičnu vrijednost napišite na temelju zajedničkog minimuma višekratnika. Zatim potražite parove prostih brojeva koji se međusobno podudaraju. Kad pronađete dvije mogućnosti koje udovoljavaju tim zahtjevima, izvadite ih iz kvadratnog korijena i postavite a njih vani.
   • Kao primjer, ovom metodom pokušajte pronaći kvadratni korijen od. Zna se to i to. Zbog toga je kvadratni korijen moguće napisati u smislu njegovih čimbenika :. Samo uzmite dvoje prisutnih unutar korijena i stavite jedan od njih izvana da biste došli do najjednostavnijih izraza :. Odavde je lako procijeniti.
   • Kao posljednji primjer, pokušajte izračunati kvadratni korijen:
     • 
       Ovdje postoji nekoliko vrijednosti unutar kvadratnog korijena - jer je to prost broj, samo uzmite jedan od parova i stavite jednu od jedinica s vanjske strane.
     • Kao rezultat, kvadratni korijen u najjednostavnijim uvjetima bit će ili. Odavde možete procijeniti vrijednosti i ako želite.

Metoda 2 od 2: Ručno izračunavanje kvadratnih korijena

1. 

   Prvo razdvojite razmake od broja u parovima. Ova metoda koristi postupak sličan dugoj podjeli za izračunavanje kvadratnog korijena točno, po jedna kuća. Iako nije presudan, možda ćete otkriti da je postupak lakši kad je organiziran vizualno i ako je broj podijeljen na dijelove. Prvo što treba učiniti je nacrtati vertikalnu crtu koja razdvaja radno područje na dvije regije, a zatim napraviti manju vodoravnu crtu blizu gornjeg desnog dijela kako bi na vrhu imao mali, a donji dio. Sada odvojite razmake od broja u parovima počevši sa zarezom: slijedeći ovo pravilo, na primjer, postaje. Vrijednost zapišite na vrh lijevog razmaka.
   • U jednom primjeru pokušajte izračunati kvadratni korijen od. Napravite dva retka da podijelite radno područje kao u prethodnom slučaju i zapišite u gornji dio lijevog prostora, i ne brinite ako je umjesto jednog para samo lijevi broj.Odgovor () morate napisati u gornjem desnom dijelu.

2. 

   Otkrijte koji je najveći cijeli broj čiji je kvadrat manji ili jednak broju (ili paru brojeva) s lijeve strane. Započnite s lijevim dijelom vašeg broja, bilo da je riječ o paru ili izoliranoj vrijednosti. Odredite koji je najveći savršeni kvadrat koji je manji od ili jednak tom broju i uzmite njegov kvadratni korijen: ovu vrijednost predstavlja. Zapišite to u gornji desni prostor, a svoj kvadrat upišite u donji desni kvadrant.
   • U primjeru je krajnji lijevi dio broj. Kao što je poznato, moguće je to tvrditi, jer je to najveća cijela vrijednost čiji je kvadrat manji ili jednak. Napišite u gornji kvadrant - ovo će biti prvi kvadrat rezultata. Zatim zapišite (kvadrat) u donji desni kvadrant - ova će vrijednost biti važna za sljedeći korak.

3. 

   Oduzeti novo izračunati broj para s lijeve strane. Kao i kod duge podjele, sljedeći je korak oduzeti pronađeni kvadrat od dijela koji je upravo proučavan. Zapišite ovu vrijednost pod prvi dio i izvedite odgovarajuće oduzimanje, dopisujući odgovor u nastavku.
   • U primjeru, jedan će biti postavljen ispod onog kako bi se izvršilo oduzimanje. Ovdje će odgovor biti jednak.

4. 

   Spustite se do sljedećeg para. Pomaknite sljedeći dio broja studije prema dolje i pored oduzete vrijednosti koju ste upravo pronašli. Zatim pomnožite vrijednost u gornjem desnom dijelu i napišite odgovor u donji desni kvadrant. Sada samo odvojite prostor za problem množenja u sljedećem koraku :.
   • U primjeru je sljedeći dostupan par. samo ga pogledajte blizu donjeg lijevog kvadranta. Zatim pomnožite vrijednost sa i dobiti je, tako da. Napišite u donji desni kut, a zatim slijedi.

5. 

   Ispunite prazna mjesta u desnom kvadrantu. Svaki od njih sada će imati isti cijeli broj. To mora biti najveći koji omogućuje da rezultat množenja s desne strane bude manji ili jednak broju koji je sada prisutan s lijeve strane.
   • U primjeru, popunjavanje praznih mjesta s rezultatom :. Ovo je vrijednost veća od. Na taj je način prevelik, ali vjerojatno hoće. Upišite u prazna polja i nastavite :. Potvrđeno je da udovoljava potrebi, jer tada broj upišite u gornji desni kvadrant. Ovo je drugi kvadrat u kvadratnom korijenu od.

6. 

   Oduzmite izračunatu vrijednost od broja koji je sada na lijevoj strani. Nastavite oduzimati u istom stilu kao i duga podjela. Uzmi rezultat problema množenja u desni kvadrant i oduzmi ga od vrijednosti koja je sada na lijevoj strani, stavljajući svoj odgovor odmah ispod.
   • U primjeru će se oduzeti, što rezultira.

7. 

   Ponovite 4. korak. Pomaknite se prema dolje do sljedećeg dijela broja čiji se kvadratni korijen izračunava. Kad dosegnete zarez, u odgovor u gornji desni kvadrant upišite decimalu. Zatim pomnožite vrijednost gore desno i napišite operaciju bijelom () kao i prije.
   • U primjeru, kako se sada dolazi do zareza, napišite ga odmah nakon trenutnog odgovora u gornjem desnom kutu. Zatim se pomaknite prema dolje sljedećem paru () u lijevom kvadrantu. Množenjem s vrijednošću u gornjem desnom kutu () dobivate - pišite u donji desni kvadrant.

8. 

   Ponovite korake 5 i 6. Pronađite najveću decimalnu vrijednost koja može popuniti prazna mjesta s desne strane koja daju rezultat manji ili jednak broju trenutno na lijevoj strani. Zatim samo prijeđite na problem.
   • U primjeru ,, koji je manji ili jednak broju lijevo (). Promatrajući to, što je previsoko, dolazite do zaključka da je to odgovor koji tražite. Zapiši ga kao sljedeće decimalno mjesto u gornjem desnom kvadrantu i oduzmi rezultat množenja broja s lijeve strane :.

9. 

   Nastavite izračunavati decimalna mjesta. Spustite par nula ulijevo i ponovite 4. koraci, 5 i 6. Da biste postigli još veću preciznost, nastavite ponavljati postupak dok u odgovoru ne pronađete stotine, tisućinke i tako dalje. Samo nastavite u ovom ciklusu dok ne dobijete rezultat na željenom decimalnom mjestu.

Razumijevanje procesa

1. 

   Definirajte broj čiji će se kvadratni korijen izračunati kao površina kvadrata. Kako ovo područje ima formulu, gdje predstavlja duljinu jedne od njegovih stranica, kada pokušavate pronaći kvadratni korijen njegove vrijednosti, pokušavate izračunati duljinu dotičnog kvadrata.

2. 

   Navedite varijable za svako decimalno mjesto u svom odgovoru. Postavite varijablu na prvo decimalno mjesto (izračunava se kvadratni korijen), na drugu, na treću i tako dalje.

3. 

   Dodijelite abecedne varijable svakom dijelu početnog broja. Povežite varijablu s prvim parom decimalnih mjesta u (početna vrijednost), drugim parom decimalnih mjesta itd.

4. 

   Shvatite povezanost ove metode s dugim dijeljenjem. Ovaj način izračuna kvadratnog korijena u osnovi je problem duge podjele koji dijeli početni broj kvadratnim korijenom, davanje svoj kvadratni korijen kao odgovor. Kao i kod problema s dugim dijeljenjem, kod kojih je kamata usmjerena na jednu decimalu odjednom, i ovdje biste se trebali usredotočiti na dvije odjednom (što odgovara sljedećem decimalnom mjestu kvadratnog korijena).

5. 

   Pronađite najveći broj čiji je kvadrat manji ili jednak. Prvo decimalno mjesto u odgovoru predstavlja najveći cijeli broj čiji kvadrat ne prelazi (dakle). U primjeru, i, tako da.
   • U jednom primjeru, ako želite podijeliti metodom dugog dijeljenja, prvi korak bio bi sličan: trebali biste potražiti prvu znamenku () i pronaći najveći cijeli broj koji bi, pomnožen s, rezultirao nečim manjim od ili jednak. U osnovi se radi o pronalaženju tog načina. U ovom bi slučaju to bilo jednako.

6. 

   Vizualizirajte kvadrat čiju površinu želite izračunati. Odgovor, koji je kvadratni korijen početnog broja, predstavljat će, koji opisuje duljinu kvadrata površine (početni broj). Vrijednosti i predstavljaju decimalna mjesta prisutna u. Drugi način stavljanja ove definicije je navođenje da se, u slučaju odgovora s dvije decimale, u slučaju odgovora s tri decimale itd.
   • U primjeru ,. Ne zaboravite da predstavlja odgovor s u jedinicama i u deseticama. Uzimajući i kao primjer, rezultirat će brojem. Ako predstavlja površinu kvadrata, predstavlja površinu najvećeg unutarnjeg kvadrata, predstavlja površinu najmanjeg unutarnjeg kvadrata i predstavlja površinu svakog od preostalih pravokutnika. Prilikom izvođenja ovog dugog i složenog postupka, pri ruci će vam biti cijela kvadratna površina, samo zbrajanje površina izračunatih iz kvadrata i pravokutnika iznutra.

7. 

   Oduzmi od. Ispustite par () decimalnih mjesta. Izraz predstavlja gotovo cijelo područje kvadrata, od kojeg je oduzet najveći unutarnji kvadrat. Ostalo se pak može predstaviti onim dobivenim u 4. korak (u gornjem primjeru). Ovdje, (površina oba pravokutnika plus površina najmanjeg kvadrata).

8. 

   Potražite, također napisano kao. U primjeru već znate () i () i sada je potrebno izračunati vrijednost. To vjerojatno neće biti cijela vrijednost, pa morate stvarno izračunati najveću cijelu mogućnost koja zadovoljava uvjet. Konačno, ostat će vam.

9. 

   Riješi operaciju. Da biste nastavili, pomnožite s, promijenite položaj desetica (ekvivalent množenja vrijednosti sa), stavite ga u položaj jedinica i rezultat pomnožite s. Drugim riječima, samo izvedite operaciju. To je isto kao kada pišete (nalazite se) u donjem desnom kvadrantu prisutnom u 4. korak. Već u Korak 5zauzvrat ćete pronaći najveću cjelobrojnu vrijednost koja će stati u prazan prostor koji zadovoljava uvjet.

10. 

    Oduzmi površinu od ukupne površine. To rezultira površinom koja se do sada zanemarivala (i koja će se koristiti za izračunavanje sljedećih kvadrata na sličan način).

11. 

    Da biste izračunali sljedeće decimalno mjesto, jednostavno ponovite postupak. Pomaknite se prema dolje do sljedećeg para () kako biste došli lijevo i tražili najvišu vrijednost koja zadovoljava uvjet (ekvivalentno pisanju dvostruke vrijednosti s dvije decimale u pratnji. U prazninama potražite najveću moguću decimalnu vrijednost koji donosi rezultat manji ili jednak kao prije.

Savjeti

• Ova metoda radi s bilo kojom bazom - ne samo s (decimalnom) bazom.
• U primjeru se može uzeti u obzir "odmor":
  
• Alternativna metoda koja koristi kontinuirane razlomke slijedi ovu formulu:
  
  U jednom primjeru, za izračunavanje kvadratnog korijena od, cijeli broj čiji kvadrat najviše odgovara početnom broju je, e. Prilikom unosa vrijednosti u formulu i zaokruživanja procjene, to već donosi rezultat (minimalne vrijednosti) ili približno (). Sljedeći bi izraz bio ili približno (). Svaki dodatni pojam dodaje gotovo tri decimalna mjesta preciznosti u odnosu na prethodni pokušaj.

Upozorenja

• Ne zaboravite odvojiti decimalna mjesta u parovima od zareza. Odvajanje kako će, na primjer, donijeti beskorisne rezultate.